En siete horas la gloria de cada árbol alcanzaba su plenitud y menguaba otra vez en nada; y cada cual despertaba una vez más a la vida una hora antes de que el otro dejara de brillar. Así en Valinor dos veces al día había una hora dulce de luz más suave cuando los dos árboles eran más débiles y los rayos de oro y de plata se mezclaban.
(Silmarillion)
Quizá sea este mi árticulo más nerd en mucho tiempo, pero entre el ocio de un fin de semana me puse a pensar leyendo este parrafo ¿Cuál sería la función matemática que mejor se aproxima a la iluminación de los árboles?
Para ello consideré que los árboles florecen y decrecen en 7 horas, asi que tienen un máximo 3.5 horas después de que empiezan a florecer. Están desfasadas por 6 horas y por tanto se juntan dos veces durante una hora cada día considerando que un "día árboles" dura en total 12 horas. (aunque la equivalencia con horas reales es de una a 7, pero eso lo abordaré después.
Empecé por lo más simple. Una función lineal con valor absoluto para que crezca y decrezca. recorrida para que el punto máximo fuera a la mitad
El problema con esta función, si bien es simple, es que no es suave, en el aspecto que tiene muchos picos. Así pues vamos a la segunda opción que es una función polinomial de sexto grado tomando en cuenta que un punto máximo a la mitad del crecimiento y dos derivadas que tiendan a cero en 0 y 7 (en el caso del Telperion). Para ello es necesario aplicar algo de cálculo integral y diferencial, pero, como suelen aparecer en muchos libros, el desarrollo de ese ejercicio lo dejamos al lector. Presento aquí la gráfica
De cualquier modo sigue sin gustarme mucho y procedo a intentar adaptar una función trigonométrica que es más natural. De igual manera dejo el ejercicio al lector
Sin embargo tuve que valerme de tomar solo valores positivos lo cual vuelve a hacer una función no suave. Por tanto pienso en una función en cuyo límite izquierdo y derecho e izquierdo tienda a cero. Quizá una función racional cuadrática que nunca se indefina y llego a la curva de agnesi probando diferentes valores para su parametro d. En este caso presento con d=2 y la junto con una función de la misma forma recorrida para hacerla periódica
Otra función similar a la curva de Agnesi es la función de Gauss usada en estadística y probabilidad conocida como función normal, que tambien tiende a cero su derivada en los limites y en el punto máximo y juego con el valor de la variánza para hacerla más ancha y a diferencia de la de agnesi, no se curva tanto en la parte de abajo y ha sido la que más me gusto para este ejercicio.
Por último, y para no dejar a un lado podemos hacer una serie periódica de Fourier quee tiene una fórmula de la forma:
usando como base funciones con intervalos.
En este caso usaré para Telperion:
x [0, 1)
1 [1, 6)
-x+7 [6, 7)
0 [7,12)
En el caso del Laurelin usaré
-x+1 [0, 1)
0 [1, 6)
x+6 [6, 7)
1 [7,12)
Obteniendo 10 coeficientes an y bn para la función tenemos los valores:
Telperion
Laurelin
Y las gráficas serían las siguientes:
A todo esto, se dice que para los elfos, la hora más sagrada era en la que ambos árboles iluminaban el cielo, que era entre 0 y 1 hrs y entre 6 y 7 hrs que vendría siendo como el crepúsculo y el amanecer.
Espero no les sea muy pesado entender las funciones, aunque si es así pueden dejarlo en algun comentario y en cuanto tenga otro rato de ocio pondré como se obtienen. Saludos
Espero no les sea muy pesado entender las funciones, aunque si es así pueden dejarlo en algun comentario y en cuanto tenga otro rato de ocio pondré como se obtienen. Saludos
Wouu entendi la mitad pero interesante el trabajo xD
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