Las matemáticas de Tolkien

En el mundo de Tolkien se ve gran cantidad de historia, geografía, lenguas, artes, filosofía y teología. Pero ¿Qué hay de las matemáticas?

Esta pregunta me llevo primero a identificar el sistema de numeración y ciertamente es muy curioso aunque pocos hablan de él. Es un sistema duodecimal (Base 12) y aunque se pueda pensar que es peor que el que usamos normalmente (Base 10) El base 12 tiene muchas ventajas. Ante todo presento un fragmento de una carta de Tolkien refiriendose a sus sistema.

En cuanto a los numerales: el uso de duodecimales, especialmente cifras im portantes como 12 y 144, no tiene la menor referencia a los dedos. Los ingleses usan duodecimales y tienen palabras especiales para designarlos, a saber dozen [docena] y gros [gruesa, doce docenas].Los babilonios usaban duodecimales. Esto es consecuencia del elemental descubrimiento matemático, después de que la gente dejara de contar con los dedos de las manos y los pies, de que 12 es un número mucho más conveniente que 10. Inventé signos numerales que se adecuaran al alfabeto fëanoriano y dieran cabida tanto a la nomenclatura decimal como a la duodecimal, pero nunca los he utilizado y ya no los recuerdo con exactitud. Me temo que la carpeta que contenía los sistemas numerales no resulta accesible ahora y puede que esté guardada en una bóveda de seguridad. Recuerdo que los numerales se escribían según un sistema posicional como el arábigo, que comenzaba a la izquierda con el número más bajo e iba elevándose hacia la derecha. (Carta344 de Tolkien) 

Ventajas del sistema duodecimal

Lo primero es que tiene más divisores (Divisores de Base 10 son 1,2,5,10) Mientras que la base 12 tiene 1,2,3,4,6 y 12.
También da ventaja en cuanto al reloj y calendario, pues este es de 12 horas y coincide con la base de numeración. También son 12 meses (incluso culturalmente 12 signos zodiacales, 12 horoscopos chinos)
La tercera ventaja es en cuanto a las fracciones, pues tendríamos menos resultados "feos" de fracciones periódicas infinitas (Ej. 1/6 =0.166666 mientras que 1/6 en base 12 se vería como 0.2)

Por último tendremos una enorme ventaja en la geometría pues el uso de grados sexagecimales se complica cuando tenemos un sistema de numeración decimal. (Muchos matemáticos propusieron gradianes o grados centesimales, aunque hoy en día no se usan mucho) Esto necesitaría todo un post aparte, pero digamos que hubiera sido muy ventajoso en cuanto a cálculos.

¿Como escribir los números?

Christopher Tolkien publicó en la revista Quettar (números 13 y 14) una serie de caracteres en Quenya que describen los números del 0 al 11. Los demás se realizarán con combinaciones de ellos

¢ñòóôõö÷øùúû

En otra referencia podemos ver una tabla con los nombres de los números. En su mayor parte se les menciona en el libro El Camino Perdido publicado como el quinto volumen de Historia de la Tierra Media.

LR = Lost Road (El Camino Perdido)


Algo curioso es que no hay nombre para el cero, sin embargo su numeración es posicional (No como los Romanos por ejemplo) por lo cual es necesario el uso del cero como veremos más adelante. Por tanto vemos unas matemáticas lo suficientemente avanzadas para contar y hacer cálculos.

Se dice que los elfos emplearon el sistema duodecimal (Base 12), sin embargo los hombres usaron un sistema decimal (Base 10) con la misma escritura (omitiendo los símbolos 10 y 11 ó kainen y minque), por lo cual los elfos tuvieron que aprender a usar ambos sistemas. Los enanos en su mayoría usaron un sistema decimal. Para diferenciar ambos sistemas se usa puntos arriba de cada caracter en el caso del decimal, mientras que para el duodecimal se usa un punto en la parte de abajo de cada caracter tengwar.

El siguiente detalle es que los números tienen un valor posicional ascendente a la derecha. Esto significa que la cifra más significativa se escribirá al final. Por ejemplo, si quisiera escribir un número decimal 1234 (mil doscientos treinta y cuatro) En tengwar primero tendríamos que cambiarlo de posición a 4321 y después cambiar los números por caracteres (canta-nelde-atta-mine) todos ellos con un punto arriba diciendo que es base 10


El problema viene cuando queremos escribir un número al más puro estilo élfico (Base 12). Lo primero es cambiar el número de base 10 a base 12. Después Invertimos los caracteres y finalmente los cambiamos por los Tengwar. Para ello pondré un ejemplo:

Usando el número 2012

Primero lo cambiamos de base. Esto se hace dividiendo entre 12 sucesivamente y tomando los residuos de las divisiones hasta que el número no se pueda dividir:


2012 / 12 = 167 y sobran 8


167 / 12 = 13 y sobran 11


13 / 12 = 1 y sobra 1


Entonces el número 2012 decimal es igual al número 11B8 duodecimal (La B simboliza al 11)


Comprobación:


2012 = 2*10^3 + 0*10^2 + 1*10^1 + 2*10^0

=2000 + 0+ 10 + 2


11B8 = 1*12^3 + 1*12^2 + 11*12^1 + 8*10^0

= 1728 +144 + 132 +8


Esta última suma da como resultado el 2012, por lo cual la conversión es correcta.

Si les da flojera hacer esta conversión pueden usar la siguiente página


[enlace]


Una vez hecho esto lo que sigue es sencillo. Se cambian de orden los números: 11B8 se cambia por 8B11 y al final se cambia por los tengwar de la tabla:

Ahora hagamos el paso inverso. Teniendo un número en Tengwar duodecimal lo convertiremos a un número decimal.

Entonces lo primero es pasarlo a números: 6A11 (uso la letra A para representar el 10)


Lo siguiente es voltearlo: 11A6


por último hacemos la representación posicional usando base 12:

1*12^3 + 1*12^2 + 10*12^1 + 6*12^0


Hacemos las operaciones:

1728 +144 + 120 + 6 = 1998


Así pues el número representado en la imagen equivale a 1998.

Reflexión filosófica

Cuando publique por primera vez esto en facebook me llegó un comentario que decía: "Es muy interesante pero veo que aquí es donde te urge leer la Mitopía o Mitopoeia". Me sacó de onda no por no haber leido dicho poema, sino por cual sería la intención de mencionarlo.

Mitopoeia es un ensayo en forma de verso escrito hacia una persona que dice que los mitos son una "mentira" o una "mentira dicha a través de la plata" y quizá la intención sea el hecho de que las matemáticas siempre se ven como una ciencia "dura" que no da lugar a mitos y poesía.


Asumiendo esto doy vuelta a esa afirmación y veremos que las matemáticas realmente están más cerca de la poesía de lo que pensamos. Empiezo citando:

"Miras los árboles y así los denominas, (los árboles son árboles y «creciendo» es «crecer»); caminas por la tierra y recorres solemne uno de los globos menores del Espacio: una estrella es una estrella; materia en una bola obligada a seguir un curso matemático entre lo regimentado, lo frío, lo inane, donde átomos destinados son heridos a cada momento" (Mitopoeia)

¿Que es lo que vemos en las matemáticas? A veces pensamos que son cuadradas, objetivas, exactas y frías, pero mientras más nos adentramos a ellas vemos que no es así. Tolkien dedicó su vida como filólogo, estudiaba el origen y significado de las palabras y como estas iban cambiando. Su obra se inspiró en dar una historia a esas lenguas, algo similar pasa con las matemáticas, existen muchas abstracciones que las palabras son incapaces de dar todo lo que significa. Pensemos por un momento en el número de Euler e. Le llamamos simplemente "e", una sola letra que detrás de ella tiene significados muy profundos hasta el punto de pensar que Dios creo el universo pensando en el número e (y pi en muchos casos).... pero a falta de palabras lo seguimos llamando e.

Resulta curioso que mientras más nos adentramos en ellas, más hermosas son y descubrimos que dejan de ser cuadradas, objetivas, exactas y frías. Existe un universo de figuras incluso en más dimensiones de las que logramos percibir, La objetividad la perdemos cuando pensamos en teorías relativistas donde un resultado depende del observador y su percepción (subjetividad), Pensar en exactitud es inútil cuando vemos teorías cuánticas, donde aceptamos que no podemos saber la posición exacta de un electrón, sino solo las posibles localizaciones (Probabilidad) y finalmente perdemos la frialdad de las matemáticas cuando nos dejamos absorber por su mundo y nos llega a apasionar. Tolkien decía que él creaba un mundo secundario al que el lector podía entrar si es que quería y todo lo que ocurriera en ese mundo secundario lo tendría que tomar como una verdad, el compromiso del autor es hacer ese mundo lo suficientemente creíble mientras que el compromiso del lector es estar en disposición de ver todo ese mundo como algo real y no "una mentira dicha a través de plata". Con las matemáticas pasa lo mismo. Es un mundo secundario muy abstracto que la naturaleza misma nos dio para conocerla. Las personas que se atreven a entrar en cosas tan abstractas como números imaginarios, otras dimensiones, cosas infinitas, entre otras son las personas que realmente asimilan eso como verdad y lo desarrollan a tal punto que el mundo supuestamente secundario rompe su barrera con el primario y vemos resultados tecnológicos. Esa es la verdadera ciencia

Ejemplo 2: A petición. Convertir la fecha 22/12/2015 a Tengwar

Forma 1 (Base 10)

Empezamos volteando los números
22/21/5102
Cambiamos por las tengwar equivalentes

òò  òñ  õñ¢ò

Esta forma llevaría puntos arriba de cada letra


Forma 2 (Base 12)

Convertimos a base 12 cada número
22/12/2016 = 1A / 10 / 11BB
Volteamos los números
A1 / 01 / BB11
Cambiamos por las tengwar equivalentes

úñ  ¢ñ  ûûññ

Esta forma llevaría puntos abajo de cada letra